jueves, 30 de mayo de 2013

PRUEBA O DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT



PRUEBA O DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT



En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.
Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

FORMULAS:

t calculado












EJERCICIO


El director del IDEAM asegura que la temperatura ambiente de la ciudad de Bogotá en el mes de octubre del año 2011 es de 14,8°C registrados en su estación meteorología.


Un estudiante de ingeniería ambiental de la universidad nacional de Colombia tomo un registro al azar de 19 días tomo y registro la temperatura ambiente y los resultados fueron los siguientes:

14,33
14,73
15,07
15,33
14,4
14,74
15,17
15,47
14,4
14,93
15,27
15,47
14,67
15
15,33
15,47



Encuentre la probabilidad de que la temperatura en el último trimestre del mes del año 2011,  
P (x < 15,185)

SOLUCIÓN:


Datos

n= 19 v= 18 µ= 15,3
X= 15,185 S2= 0,938 s= 0,88






t calculado = -0,57
t teórico = 0,688


  • La probabilidad de que la temperatura media de la ciudad de Bogotá en el último trimestre de año 2011  sea inferior a 15,185 es del 25%

TEORÍA DE MUESTREO

TEORÍA DE MUESTREO


La teoría de muestreo se refiere al estudio de las relaciones que existen entre un colectivo o población y las muestras que se extraen de las mismas. El estudio de las muestras permite hacer estimaciones de características desconocidas de la población (tales como media, desviación típica, proporciones, etc). Estas estimaciones se hacen a partir del conocimiento de las características de las muestras (media, desviación típica, proporción, etc).

Las características o medidas obtenidas de una muestra se llaman estadísticos; y las medidas correspondientes a la población parámetros. Cuando una medida muestral o estadístico es utilizada como representante de una característica poblacional o parámetro se denomina estimador.


Ventajas De La Utilización De Las Muestras

  1. El costo es menor y se puede obtener un mejor rendimiento del dinero invertido.
  2. Se obtiene una disminución notable del tiempo necesario para alcanzar la información

Cuando una muestra posee 30 o más datos se denomina grandes muestras y si la muestra tiene menos de 30 observaciones se denomina pequeñas muestras.

Al procedimiento utilizado para elegir una muestra se denomina Muestreo.

FORMULA





n: Tamaño de la muestra
Zα/2: Valor teórico en función del nivel de confianza, para 99 %
ε: error de muestreo
P: Número de veces que se produce un evento en %

Q: Es el porcentaje complementario de P


EJERCICIO


Se realizó un estudio de la temperatura en la ciudad de Bogotá de 170 datos de temperatura facilitados por la estación meteorológica de la Universidad Nacional de Colombia sede Bogotá, donde 80 se encuentran registrados favorablemente. Cuantos registros  de temperatura del último trimestre del  año 2011 es necesario realizar un estudio si se desea un nivel de confianza de 95% y un error de muestreo más o menos del 0,025

Solución:




p= 8 / 70 * 100= 10% 
q= 100% - 10% = 90%
Zα/2  (95%)=  1,96







n=14




  • Es necesario realizar 14 registros de temperatura de la ciudad de Bogotá, para alcanzar cierta confiabilidad en los registros.


miércoles, 22 de mayo de 2013

DISTRIBUCIÓN NORMAL

ESTADÍSTICA PARA INGENIEROS

 TEMPERATURA AMBIENTE ESTACIÓN METEROLÓGICA UNAL. BOGOTÁ

DISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución normal fu e introducida por el matemático francés Abraham De Moivre en 1733. De Moivre, quien uso esta distribución para aproximar las probabilidades conectadas con lanzar una moneda, la llamo curva exponencial con forma de campana.

Su utilidad, sin embargo, fue demostrada en 1809, cuando el famoso matemático alemán Karl Friedrich Gauss la uso como una parte integral de su aproximación para predecir la ubicación de objetos astronómicos. Como resultado, resulto común después de esto que la denominaran distribución Gaussiana. Durante la segunda mitad del siglo XIX, la mayoría de los estadistas comenzaron a creer que la mayoría de los conjuntos de datos tenían histogramas con la forma de campana de una distribución gaussiana, por lo que comenzó a ser aceptado que es normal para cualquier conjunto de datos con forma de campana estar descrito por esta curva. Como resultado de esto, y siguiendo el camino del estadista británico Karl Pearson, la gente comenzó  a referirse a la distribución gaussiana como la curva normal.

La función de probabilidad de la distribución normal sirve de modelo para una gran cantidad de variables continuas naturales, tales como la temperatura, la humedad, la precipitación, la altura, el peso, la concentración, el cociente de inteligencia, los errores instrumentales, etc. Igualmente, la distribución de muchos estadísticos tiende hacia la distribución normal, por lo cual esta distribución adquiere una gran importancia en el análisis de datos mediante la inferencia estadística.



EJERCICIO:


1.  CUAL ES LA PROBABILIDAD DE ENCONTRAR EN EL 4 TRIMESTRE DEL AÑO 2011 TEMPERATURAS DE:

A-  MENOR DE 15°c
B-  MAYOR DE 15,3°C
C-  entre 13,5 y 14,2°C

solución:


A- 
    Datos
Media =15,11
Mediana =15,19
Moda =14,33
Varianza =0,88
Desv. típ. =0,938

Xa       =          15





Za= -0,12
area = 0,0478 o 4,78%








La gráfica de distribución de frecuencia muestra que se tiene la probabilidad del 4,78% de tener temperaturas menores a 15°C 


B- 

Datos:
Media =15,11
Mediana =15,19
Moda =14,33
Varianza =0,88
Desv. típ. =0,938
Xb  =          15,3



Zb= 0,2
area = 0,0793 o 7,93%
La probabilidad de encontrar temperaturas mayores de 15,3°C es del 7,93%



C-

datos:
Media =15,11
Mediana =15,19
Moda =14,33
Varianza =0,88
Desv. típ. =0,938



X1  =          17,11

X2=            13,11

P(14,2<15,3)








Z1= -2,12

Z2=  2,13
área 1 = 0,483 o 48,3%
área 2 = 0,4834  o  48,34%
área total=  96,64%


La probabilidad de de tener temperaturas entre 13,11°C y 17,11°C es del 96,64%

DISTRIBUCIÓN POISSON

La distribución de Poisson se llama así en honor a su creador, el francés Simeón Dennis Poisson (1781-1840), Esta distribución de probabilidades fue uno de los múltiples trabajos matemáticos que Dennis completó en su productiva trayectoria.




  • La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados. 
  • Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto. 
  • Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de éxitos p es pequeña.
  • Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un segmento n dado como por ejemplo distancia, área, volumen o tiempo definido.
FORMULA






EJERCICIO


La probabilidad de que haya una temperatura de 13,5 °C en la ciudad de Bogotá es de 0.02 por cada 15 días de registro en la estación meteorológica de la Universidad Nacional de Colombia. Si se toma registros de 37 días del último trimestre del año 2011, ¿cuál es la probabilidad de tener 3 registros con esta temperatura? 


SOLUCIÓN:

n=15
p=0,07


Como la probabilidad p es menor que 0.1, y el producto  n * p  es menor que 10 (15 * 0.07 = 2,59), entonces, aplicamos el modelo de distribución de Poisson:





P(x=3)= 0,21723

Por lo tanto la probabilidad de tener 15 días con temperaturas de 15, en 37 días de registros es del 27,723% 

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL



DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Es una de las distribuciones de probabilidad más útiles ( control de calidad, producción, investigación). Tiene que ver con el experimento aleatorio que produce en cada ensayo o prueba uno de dos resultados posibles mutuamente excluyentes: ocurrencia de un criterio o característica específico (llamado éxito) y no ocurrencia de éste (llamado fracaso). Los términos o calificativos de "éxito y fracaso" son solo etiquétas y su interpretación puede no corresponder con el resultado positivo o negativo de un experimento en la realidad.



Criterios o propiedades para definir la Distribución Binomial


Resumiendo, podemos definir estos criterios:

1- El experimento aleatorio consiste en n ensayos o pruebas repetidas, e idénticas y fijadas antes del experimento (pruebas de Bernoulli). Son pruebas con reemplazamiento o con reposición.

2- Cada uno de los n ensayos o pruebas arroja solo uno de dos resultados posibles resultados: éxito ó fracaso.

3- La probabilidad del llamado éxito (ocurrencia)=P, pemanece costante para cada ensayo o prueba.

4- Cada prueba o ensayo se repite en idénticas condiciones y es independiente de las demás.
Cuando estas propiedades se cumplen en el experimento aleatorio se dice que el constituye un proceso de Bernoulli y cada uno de los ensayos que lo conforman se llama experimento de Bernoulli.

5. El interés recae en hallar la probabilidad de obtener n número de éxitos al realizar n ensayos del mismo E.A.



formula:

binomial











EJERCICIO:


1- Se tiene que el 95% de los registros en el mes de noviembre de 2011 pertenece a 14,9°C; si se toma al azar 17 registros cual es la probabilidad de que:

A- al menos 5 registros tengan 14,9°C
B- 9 registros sean 14,9°C

SOLUCIÓN:

A-

n= 17
X= 0,1,2,3,4,5
P= 95%   9,5
q= 5%    0,05


P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)






P(x=>5)= 0,555 ó 55,5%


Es decir la probabilidad de obtener  al menos 5 registros con temperaturas de14,9°C  al tomar 7 datos al zar es del 55,5%




FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD

FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD



La probabilidad es la rama de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios. Empecemos por distinguir fenómeno: Para la Real Academia Española, un fenómeno es todo aquello que podemos percibir a través de los sentidos o de la conciencia; por ejemplo, la gravedad, la temperatura o el placer.






EJERCICIOS

Tomando los datos de las  TEMPERATURAS en el cuarto trimestre del año 2011 en la ciudad de Bogota;  obtenidos a través de la estación meteorológica de la universidad nacional.




1.   Cuál es la probabilidad de que en los 92 registros de temperatura del 4 trimestre de año      2001 15 de estos registros sean de 15°C?



solución:

días 15°C 15 recurrencia= 77
total días 92
P=   0,163       P%= 16,30
q= 0,837 p%= 83,70
P+q= 1



2. En el mes de octubre con temperatura media fue de 15°C; cual es la probabilidad de que  hayan días con un temperatura de 19°C?

 solución:


Tem media 15 recurrencia= 4
Tem 19
P=   0,789 P%= 78,95
q= 0,211 p%= 21,05
P+q= 1





TEOREMA DE BAYES

El teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 1763 que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.





EJERCICIOS:


1.  Se sabe que en la ciudad de Bogotá en el mes de octubre de 2011el 12% de los días registraron una temperatura de 13,5°C, el 38% una temperatura de 14,3 y el 50% de los días 15°C.
En el mes de noviembre se obtuvieron 30 registros de los cuales 13,2% tiene temperatura de 13,5°C, el 3,8% 14,3°C y el 47% registraron temperaturas de 15°C¿Cuál es la probabilidad de que se registren datos con temperaturas de 15,5°C?

solucion:

P(B1)=  12% = 0,12 = 13,5°C P(A /B1)= 14,20% = 0,142 = 13,5°C
P(B2)=
38% = 0,38 = 14,3°C P(A / B2)= 36,60% = 0,366 = 14,3°C
P(B3)=
50% = 0,50 = 15°C P(A /B3)= 49,20% = 0,492 = 15°C

P(B3 / A)= (0,50 * 0,49) / (0,50 * 0,49) + (0,12 * 0,142) + (0,38 * 0,366)

P(B3 / A)= 0,6107       61,07%

se tiene una probabilidad de 61,07% de tener temperaturas de 15°C


lunes, 20 de mayo de 2013

TEMÁTICA DE PROBABILIDAD PARA INGENIEROS


ESTADÍSTICA PARA INGENIEROS

 TEMPERATURA AMBIENTE ESTACIÓN METEROLÓGICA UNAL. BOGOTÁ


Variables meteorológica.

En términos generales, se sabe que la temperatura es una magnitud física que caracteriza el movimiento aleatorio medio de las moléculas en un cuerpo físico. En particular, cuando se habla de la temperatura del aire se hace referencia a la medida del estado térmico del aire con respecto a su habilidad de comunicar calor a su alrededor (IDEAM, 2005).


Temperatura del aire.

La temperatura del aire en superficie es la temperatura leída en un termómetro expuesto al aire en una garita, caseta o abrigo meteorológico que permite la existencia de una buena ventilación, y evita los efectos de la radiación solar directa sobre el termómetro, a una altura comprendida entre 1.25 y 2 metros sobre el nivel del suelo. La temperatura media corresponde al promedio de las temperaturas observadas en el curso de un intervalo de tiempo determinado, en tanto que las temperaturas extremas corresponden al valor más alto, o máximo, y más bajo, o mínimo, presentados en el transcurso de tal intervalo (IDEAM, 2005).


 Variaciones de Temperatura. 

El motor que determina la dinámica de los procesos atmosféricos y el clima es la energía solar. El Sol emite energía en forma de radiación de onda corta. Después de pasar por la atmósfera, donde sufre un proceso de debilitamiento por difusión, reflexión y absorción, la radiación solar alcanza la superficie terrestre, donde es reflejada o absorbida. La cantidad de radiación absorbida por la superficie es devuelta en dirección al espacio exterior en forma de radiación de onda larga, con lo cual se transmite calor a la atmósfera. Algunos de los gases contenidos en la atmósfera, como el vapor de agua y el CO2, son relativamente transparentes a la radiación solar en el rango visible, pero absorben bien la radiación de onda larga procedente de la Tierra. Los gases y el agua que absorben la radiación de la Tierra también son buenos radiadores de energía (IDEAM, 2005).

 La atmósfera irradia parte de la energía absorbida al espacio y otra parte regresa a la superficie de la Tierra. Las dos terceras partes de la energía radiante atmosférica son devueltas directamente a la superficie, con lo cual se suministra una fuente de energía adicional a la radiación solar directa. El intercambio de energía entre la atmósfera y la Tierra es conocido como efecto invernadero natural. La temperatura media global de la atmósfera cerca de la superficie sería de 23 °C por debajo de cero, pero gracias a este efecto invernadero, la temperatura media del planeta es de 15 °C. El clima terrestre depende del balance energético entre la radiación solar y la radiación emitida por la Tierra, donde los gases invernadero desempeñan un rol importante.

 La cantidad de energía solar recibida, en cualquier región del planeta, varía con la hora del día, con la estación del año y con la latitud. Estas diferencias de radiación originan las variaciones de temperatura. Por otro lado, la temperatura puede variar debido a la distribución de distintos tipos de superficies y en función de la altura. Las variaciones de temperatura y sus causas pueden resumirse así (IDEAM, 2005):

 Variación diurna: cambio en la temperatura, entre el día y la noche, producido por la rotación de la Tierra.

Distribución latitudinal: distribución natural de la temperatura sobre la esfera terrestre, debido a que el ángulo de incidencia de los rayos solares varía con la latitud geográfica.

Variación estacional: la Tierra gira alrededor del Sol, en su órbita, una vez al año, lo que da lugar a las cuatro estaciones: verano, otoño, invierno y primavera. Por otro lado, el eje de rotación de la Tierra está inclinado con respecto al plano de su órbita, y el ángulo de incidencia de los rayos solares varía, estacionalmente, en forma diferente para ambos hemisferios, siendo el Hemisferio Norte más cálido que el Hemisferio Sur durante los meses de junio, julio y agosto, porque recibe más energía solar. De la misma manera, durante los meses de diciembre, enero y febrero, el Hemisferio Sur recibe más energía solar que el similar del Norte y, por lo tanto, se torna más cálido. En la zona tropical la energía que se recibe es casi la misma cantidad a lo largo del año, y por ello, las temperaturas son más uniformes a través de los meses.

Tipos de superficie terrestre: Las diferencias de la capacidad calorífica debida a los distintos tipos de suelo, vegetación y humedad en el suelo producen efectos muy importantes en la variación de temperatura.

Variación con la altura: En la tropósfera, la temperatura decrece normalmente con la altura, aproximadamente 6.5 °C por cada 1.000 metros. Sin embargo, en ocasiones se puede registrar un aumento de temperatura con la altura. A este incremento de la temperatura con la altura se le denomina inversión de temperatura.


DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA Y MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Datos del cuarto trimestre del año 2011 de la estación meterologica de la Universidad Nacional de Bogóta 




CONCLUSIONES:



  • La gráfica de distribución de frecuencias nos permite observar la temperatura asila con mayor frecuencia en el intervalo 14,850 - 15,563.
  • La temperatura más baja presentada en la ciudad de Bogotá se encuentra en el intervalo 12 - 12,713.
  •  La mayor temperatura presentada en la ciudad de Bogotá se encuentra en el intervalo 16 - 17,700.